Question

1．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，CA=CB=2，AA₁=6，∠ACB=120°．若三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有頂點都在球O的表面上，則球O的表面積為（　　）

• A． 20π
• B． 42π
• C． 52π
• D． 56π

Answer 1

分析 通過已知體積求出底面外接圓的半徑，設此圓圓心為O'，球心為O，在RT△OAO'中，求出球的半徑，然后求出球的表面積即可．

解答 解：在△ABC中CA=CB=2，∠ACB=120°，
由余弦定理可得AB=2$\sqrt{3}$，
由正弦定理，可得△ABC外接圓半徑r=2，
設此圓圓心為O'，球心為O，在RT△OAO'中，
得球半徑R=$\sqrt{4+9}$=$\sqrt{13}$，
故此球的表面積為4πR²=52π．
故選C．

點評 本題是基礎題，解題思路是：先求底面外接圓的半徑，轉化為直角三角形，求出球的半徑，這是三棱柱外接球的常用方法；本題考查空間想象能力，計算能力．