Question

設a，b，c為正數，利用排序不等式證明a3+b3+c3≥3abc．

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：由排序原理：順序和≥反序和，結合基本不等式，即可得到結論．

證明：不妨設a≥b≥c＞0，∴a2≥b2≥c2，

由排序原理：順序和≥反序和，得：

a3+b3≥a2b+b2a，b3+c3≥b2c+c2b，c3+a3≥a2c+c2a

三式相加得2（a3+b3+c3）≥a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）．

又a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca．

所以2（a3+b3+c3）≥6abc，

∴a3+b3+c3≥3abc．

當且僅當a=b=c時，等號成立．