Question

已知函數f（x）=x²-2ax，g（x）=-x²-1．
（Ⅰ）若函數y=f（x）的圖象始終在函數y=g（x）的圖象的上方，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩條公切線，且由四個切點組成的四邊形的周長為6，求實數a的值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,二次函數的性質

專題：計算題,導數的概念及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）由題意可得2x²-2ax+1＞0恒成立，由判別式小于0，運用二次不等式的解法即可得到；
（Ⅱ）分別設出切點，點P（x₁，x₁²-2ax₁）和點Q（x₂，-x₂²-1），求出導數，求出切線的斜率，得到切線方程，推出x₁+x₂=a，2x₁x₂=a²-1，則有2x₁²-2ax₁+a²-1=0，再求y₁+y₂=-1-a²．由對稱性，可得另一條公切線段P′Q′的中點與PQ中點重合，所以公切線段PQ和P′Q′互相平分．即有切點P'（x₂，f（x₂）），Q'（x₁，g（x₁）），PQ和P′Q′圍成一個平行四邊形PP'QQ'，則有|PP'|+|PQ'|=3，得到a的方程，解得即可．

解答： 解：（Ⅰ）函數y=f（x）的圖象始終在函數y=g（x）的圖象的上方，即為
x²-2ax＞-x²-1恒成立，即有2x²-2ax+1＞0恒成立，
則有判別式△＜0，即4a²-8＜0，
解得-

2

＜a＜

2

；
（Ⅱ）函數y=x²-2ax的導數y′=2x-2a，
曲線f（x）在點P（x₁，x₁²-2ax₁）的切線方程是：
y-（x₁²-2ax₁）=（2x₁-2a）（x-x₁），即y=（2x₁-2a）x-x₁²①
函數y=-x²-1的導數y′=-2x，
曲線g（x）在點Q（x₂，-x₂²-1）的切線方程是：
即y-（-x₂²-1）=-2x₂（x-x₂）即y=-2x₂x+x₂²-1．②
如果直線l是過P和Q的公切線，
則①式和②式都是l的方程，
2x₁-2a=-2x₂，-x₁²=x₂²-1，
即有x₁+x₂=a，2x₁x₂=a²-1，
則有2x₁²-2ax₁+a²-1=0，
設一條公切線上切點為：P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
y₁+y₂=x₁²-2ax₁+（-x₂²-1）=2x₁²-2ax₁-2=-1-a²．
線段PQ的中點為（

a

2

，

-1-a2

2

）．
另一條公切線段P′Q′的中點也是（

a

2

，

-1-a2

2

）．
所以公切線段PQ和P′Q′互相平分．
即有切點P'（x₂，f（x₂）），Q'（x₁，g（x₁）），
PQ和P′Q′圍成一個平行四邊形PP'QQ'，
則有|PQ'|=|x₁²-2ax₁-（-x₂²-1）|=|2-a²|，
|PP'|=

(x1-x2)2+(x12-2ax1-x22+2ax2)2

=

1+a2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+a2

•

2-a2

，
由|PQ'|+|PP'|=3，即

1+a2

•

2-a2

+|2-a²|=3，
解得，a²=

1

2

，即有a=±

2

2

．

點評：本題考查導數的運用：求切線方程，同時考查兩點間的距離公式的運用，以及二次不等式恒成立問題，考查運算化簡的能力，屬于難題．