Question

15．已知曲線C的極坐標方程為ρ²=$\frac{12}{3co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，以極點為原點，極軸為x軸非負半軸建立平面直角坐標系，則曲線C經過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{2}x}\\{y′=\frac{\sqrt{3}}{3}y}\end{array}\right.$后，得到的曲線是（　　）

• A． 直線
• B． 橢圓
• C． 雙曲線
• D． 圓

Answer 1

分析 將極坐標方程ρ²=$\frac{12}{3co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$化為普通方程，利用伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{2}x}\\{y′=\frac{\sqrt{3}}{3}y}\end{array}\right.$后，即可判斷．

解答 解：極坐標方程ρ²=$\frac{12}{3co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，
可得：3y²+4x²=12，即$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
曲線C經過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{2}x}\\{y′=\frac{\sqrt{3}}{3}y}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{2x′=x}\\{\sqrt{3}y′=y}\end{array}\right.$：帶入曲線C可得：$\frac{x{′}^{2}}{\frac{3}{4}}+\frac{y{′}^{2}}{\frac{4}{3}}=1$，
∴伸縮變換得到的曲線是橢圓．
故選：B．

點評 本題主要考查了極坐標方程與普通方程的互換以及伸縮變換的做法．屬于基礎題．