Question

10．如圖，正方形ABCD所在平面與四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°．
（1）求證：EF⊥平面BCE；
（2）設線段CD、AE的中點分別為P、M，求PM與BC所成角的正弦值；
（3）求二面角F-BD-A的平面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）證明BC⊥EF．EF⊥BE．然后證明EF⊥平面BCE．
（2）取BE的中點N，連結CN，MN，證明PM∥CN．說明CN與BC所成角∠NCB即為所求，在直角三角形NBC中，求解$sin∠NCB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（3）說明∠FHG為二面角F-BD-A的平面角．設AB=1，則AE=1，在Rt△BGH中與在Rt△FGH中，求解二面角F-BD-A的平面角的正切值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）因為平面ABEF⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，BC⊥AB，
平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以BC⊥平面ABEF．所以BC⊥EF．
因為△ABE為等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°又因為∠AEF=45°，
所以∠FEB=45°+45°=90°，即EF⊥BE．
因為BC?平面BCE，BE?平面BCE，BC∩BE=B，所以EF⊥平面BCE．
（2）取BE的中點N，連結CN，MN，
則$MN\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}AB\underline{\underline{∥}}PC$，
所以PMNC為平行四邊形，所以PM∥CN．
所以CN與BC所成角∠NCB即為所求，正方形ABCD所在平面與四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，設AE=a，BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．BC=a，NC=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}a$=$\frac{\sqrt{6}}{2}a$，在直角三角形NBC中，
$sin∠NCB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（3）由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD．
作FG⊥AB，交BA的延長線于G，則FG∥EA．從而，FG⊥平面ABCD．
作GH⊥BD于H，連結FH，則由三垂線定理知，BD⊥FH．
因此，∠FHG為二面角F-BD-A的平面角．
因為FA=FE，∠AEF=45°，所以∠AFE=90°，∠FAG=45°．
設AB=1，則AE=1，$AF=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$． $FG=AF•sinFAG=\frac{1}{2}$．
在Rt△BGH中，∠GBH=45°，$BG=AB+AG=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，$GH=BG•sinGBH=\frac{3}{2}•\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．在Rt△FGH中，$tanFHG=\frac{FG}{GH}=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$．
故二面角F-BD-A的平面角的正切值為$tanFHG=\frac{FG}{GH}=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應用，二面角的平面角以及異面直線所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．