Question

如圖，在四面體ABCD中，M、N分別是△ABC和△ACD的重心，求證：
（1）MN∥平面ABD；
（2）若BD⊥DC，MN⊥AD，則BD⊥AC．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知M，N是AE，AF的三等分點，得到AM：AE=AN：AF=2：3，得到MN∥EF，所以MN∥BD．利用線面平行的判定定理可證；
（2）由MN⊥AD，得到BD⊥AD，結合BD⊥DC，利用線面垂直的判定定理可得BD⊥平面ADC，所以BD⊥AC．

解答： 證明：（1）∵M，N分別是△ABC和△ACD的重心，
∴AM：AE=AN：AC=2：3，
∴MN∥EF，又E，F時BC，CD的中點，
∴EF∥BD，
∴MN∥BD，又MN?平面ABD，BD?平面ABD，
∴MN∥平面ABD；
（2）由（1）知MN∥BD，又MN⊥AD，
∴BD⊥AD，又BD⊥DC，AD∩DC=D
∴BD⊥平面ADC，
∴BD⊥AC．

點評：本題考查了線面平行的判定和線面垂直的判定定理和性質定理的運用，關鍵時將所證轉化為線線關系解決，屬于常規題．