Question

如圖，已知直線l：y=kx-2與拋物線C：x²=-2py（p＞0）交于A，B兩點，O為坐標原點，

OA

+

OB

=（-4，-12）．
（1）求直線l和拋物線C的方程；
（2）拋物線上一動點P從A到B運動時，求△ABP面積最大值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：平面向量及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）把直線與拋物線方程聯立，設出A，B的坐標，利用韋達定理表示出x₁+x₂，進而根據直線方程求得y₁+y₂的表達式，然后利用

OA

+

OB

=（-4，-12）求得p和k，則直線l和拋物線C的方程可得．
（2）設P（x₀，y₀），依題意，拋物線過P的切線與l平行時，△APB面積最大；對拋物線方程求導，求得x₀，代入拋物線方程求得y₀，點P的坐標可得，進而利用點到直線的距離求得P到直線l的距離把直線方程與拋物線方程聯立，利用弦長公式求得|AB|，最后求得∴△ABP的面積最大值．

解答： 解：（1）由

y=kx-2 x2=-2py

得，x²+2pkx-4p=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-2pk，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=-2pk²-4，
因為

OA

+

OB

=（x1+x2，y1+y2）=（-2pk，-2pk2-4）=（-4，-12），
所以

-2pk=-4 -2pk2-4=-12

，
解得

p=1 k=2

，
所以直線l的方程為y=2x-2，拋物線C的方程為x²=-2y；
（2）設P（x₀，y₀），依題意，拋物線過P的切線與l平行時，△APB面積最大，y′=-x，
所以-x₀=2⇒x₀=-2，y₀=-

1

2

x₀²=-2，所以P（-2，-2）．
此時P到直線l的距離d=

|2•(-2)-(-2)-2|

22+(-1)2

=

4 5

5

，
由

y=2x-2 x2=-2y

得，x²+4x-4=0，
|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1•x2

=4

10

，
∴△ABP的面積最大值為

1

2

×4

10

×

4 5

5

=8

2

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題時充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，解決問題．