Question

3．已知圓C：（x-6）²+（y-8）²=1和兩點A（-m，0），B（m，0）（m＞0），若對圓上任意一點P，都有∠APB＜90°，則m的取值范圍是（　　）

• A． （9，10）
• B． （1，9）
• C． （0，9）
• D． （9，11）

Answer 1

分析 設P（6+cosθ，8+sinθ），則$\overrightarrow{PA}$=（-m-6-cosθ，-8-sinθ），$\overrightarrow{PB}$=（m-6-cosθ，-8-sinθ），由對圓上任意一點P，都有∠APB＜90°，得到$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$＞0，由此能求出m的取值范圍．

解答 解：圓C：（x-6）²+（y-8）²=1的圓心C（6，8），半徑r=1，
設P（6+cosθ，8+sinθ），
∵A（-m，0），B（m，0）（m＞0），
∴$\overrightarrow{PA}$=（-m-6-cosθ，-8-sinθ），$\overrightarrow{PB}$=（m-6-cosθ，-8-sinθ），
∵對圓上任意一點P，都有∠APB＜90°，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（-m-6-cosθ）（m-6-cosθ）+（-8-sinθ）²
=101+16sinθ+12cosθ-m²=20sin（θ+α）+101-m²＞0．（tanα=$\frac{3}{4}$），
∴m²＜20sin（θ+α）+101，
由m＞0，解得9＜m＜11．
故選：D．

點評 本題考查實數值取值范圍的求法，涉及到圓、直線方程、向量、三角函數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．