Question

13．已知數列1-b≥0滿足S_n+a_n=2n，n∈N^*，其中S_n是數列{a_n}的前n項和．
（Ⅰ）計算a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）猜想a_n的表達式，并用數學歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件直接計算a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）猜想a_n的表達式，用數學歸納法證明步驟，逐步證明猜想成立即可．

解答 解：（Ⅰ）計算得：a₁=1，a₂=$\frac{3}{2}$，a₃=$\frac{7}{4}$，a₄=$\frac{15}{8}$，…（4分）
（Ⅱ）猜想a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．…（6分）
證明：?當n=1時，計算的a₁=1=$\frac{{2}^{1}-1}{{2}^{1-1}}$，猜想成立；                  …（7分）
?假設當n=k（k≥1）時猜想成立，即a_k=$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k-1}}$，…（8分）
則當n=k+1時，S_k=2k-a_k，S_k+1=2（k+1）-a_k+1，
所以a_k+1=S_k+1-S_k=2（k+1）-a_k+1-2k+a_k，
=2+a_k-a_k+1所以a_k+1=1+$\frac{{a}_{k}}{2}$=1+$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k}}$=$\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{k+1-1}}$，
所以當當n=k+1時，猜想也成立．…（11分）
綜合??可知：猜想a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$，n∈N^*，成立．…（12分）

點評 本題考查數學歸納法的應用，考查邏輯推理能力以及計算能力．