Question

15．已知球O是棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內(nèi)切球，則以B₁為頂點，以平面ACD₁被球O所截得的圓為底面的圓錐的全面積為$\frac{2π}{3}$．（圓錐全面積S=πr（l+r），其中r為圓錐的底面半徑，l為母線長）

Answer 1

分析 根據(jù)正方體和球的結(jié)構(gòu)特征，求得球O被平面ACD₁所截得的圓的半徑r，再通過利用球的性質(zhì)求出O到平面ACD₁的距離d，進而求出圓錐的高，再由勾股定理求出圓錐的母線，最后利用圓錐的表面積求解即可．

解答 解：如圖，O為球心，也是正方體的中心，
設球O被平面ACD₁所截得的圓的半徑為r，AC中點為M，
則r=$\frac{1}{3}$D₁M=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
球的半徑R=$\frac{1}{2}$，
則O到平面ACD₁的距離d=$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
則圓錐的高h=$\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故圓錐的母線長l=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
故圓錐的表面積為：πr（r+h）=$\frac{\sqrt{6}}{6}$（$\frac{\sqrt{6}}{6}+\frac{\sqrt{6}}{2}$）π=$\frac{2π}{3}$，
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查了正方體和它的內(nèi)接球的結(jié)構(gòu)特征、圓錐的體積，關鍵是想象出截面圖的形狀，考查了空間想象能力．