Question

13．函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{6}（{x^2}+5x），0≤x＜3\\ 10-2x，3≤x≤5\end{array}\right.，?m，n∈[{0，5}]，m＜n$，使得f（x）在定義域[m，n]上的值域為[m，n]，則這樣的實數對（m，n）共有（　　）個．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 先畫出函數的圖象，結合函數的圖象分①0≤m＜n＜3，②3≤m＜n≤5，③0≤m＜3＜n＜5三種情況，判斷函數的表達式及在對應區間上的單調性可求．

解答 解：先畫出函數的圖象，如圖所示，由題意可得m≠0
①當0≤m＜n＜3時，f（x）=$\frac{{x}^{2}+5x}{6}$在區間[m，n]單調遞增，則$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+5m=6m}\\{{n}^{2}+5n=6n}\end{array}\right.$，∴m=0，n=1
②當3≤m＜n≤5，f（x）=10-2x在[m，n]單調遞減，則$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=n}\\{f（n）=m}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{10-2m=n}\\{10-2n=m}\end{array}\right.$，∴m=n（舍）
③當0≤m＜3＜n＜5時，可知函數的最大值為f（3）=4=n，從而可得函數的定義域及值域為[m，4]，而f（4）=2
（i）當m=2時，定義域[2，4]，f（2）=$\frac{7}{3}$＞f（4）=2，故值域為[2，4]符合題意
（ii）當m＜2時，$\frac{{m}^{2}+5m}{6}$=m可得m=1，n=4，符合題意
（iii）當m=0時，定義域[0，4]，f（3）=4＞f（4）=2，故值域為[0，4]符合題意
綜上可得符合題意的有（0，1），（0，4），（1，4），（2，4）
故選：C．

點評 本題主要考查了分段函數的值域的求解，解題中如能借助于函數的圖象，可以簡化運算，要注意數形結合及分類討論思想在解題中的運用．