Question

4．某企業根據市場需求，決定生產一款大型設備，生產這種設備的年固定成本為500萬元，每生產x臺，需投入成本C（x）萬元，若年產量不足80臺時，C（x）=$\frac{1}{2}$x²+40x萬元，若年產量等于或超過80臺時，C（x）=101x+$\frac{8100}{x}$-2180萬元，每臺設備售價為100萬元，通過市場分析該企業生產的這種設備能全部售完．
（1）求年利潤y（萬元）關于年產量x（臺）的函數關系；
（2）年產量為多少臺時，該企業的設備的生產中所獲利潤最大？

Answer 1

分析 （1）0＜x＜80，有y=100x-（$\frac{1}{2}$x²+40x）-500；x≥80，y=100x-（101x+$\frac{8100}{x}$-2180）-500，即可得出．
（2）由（1）可得：0＜x＜80時，有y=-$\frac{1}{2}（x-60）^{2}$+1300，利用二次函數的單調性可得y的最大值．x≥80時，y=1680-$（x+\frac{8100}{x}）$，利用基本不等式的性質即可得出最大值．綜上比較即可得出．

解答 解：（1）0＜x＜80，有y=100x-（$\frac{1}{2}$x²+40x）-500=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+60x-500；
x≥80，y=100x-（101x+$\frac{8100}{x}$-2180）-500=1680-$（x+\frac{8100}{x}）$．
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{x}^{2}+60x-500，0＜x＜80}\\{1680-（x+\frac{8100}{x}），x≥80}\end{array}\right.$．
（2）由（1）可得：0＜x＜80時，有y=-$\frac{1}{2}（x-60）^{2}$+1300，
∴x=60時，y取得最大值1300（萬元）．
x≥80時，y=1680-$（x+\frac{8100}{x}）$≤1680-2$\sqrt{x×\frac{8100}{x}}$=1500，
當且僅當x=90時取等號．即當x=90時，y取得最大值1500（萬元）．
綜上可得：年產量為90臺時，該企業的設備的生產中所獲利潤最大為1500（萬元）．

點評 本題考查了二次函數的單調性、基本不等式的性質及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．