Question

15．函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$（m+1）x²+2（m-1）x在（0，4）上無極值，則m=3．

Answer 1

分析 函數f（x）在（0，4）上無極值即導函數f'（x）在（0，4）上無根，f'（x）=x²-（m+1）x+2（m-1）在（0，4）上恒有f'（x）≥0．

解答 解：函數f（x）在（0，4）上無極值即導函數f'（x）在（0，4）上無根．
f'（x）=x²-（m+1）x+2（m-1）在（0，4）上恒有f'（x）≥0 ①；
當m-1＞2時，①式解為x≤2 或 x≥m-1；顯然x∈（0，4）時，①式不成立；
當m-1＜2時，①式解為x≤m-1或x＞2；顯然x∈（0，4）時，①式不成立；
當m-1=2時，①式解為x=2，m=3．
故答案為：3．

點評 本題主要考查了導函數零點與極值關系，以及二次函數在特定區間求值，屬中等題．