Question

7．某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點（指縱、橫的交叉點以及三角形的頂點）處都種了一株相同品種的作物．根據歷年的種植經驗，一株該種作物的年收獲量Y（單位：kg）與它的“相近”作物株數X之間的關系如表所示：

X	1	2	3	4
Y	51	48	45	42

這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．
（1）從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；
（2）從所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量Y的分布列．

Answer 1

分析 （1）確定三角形地塊的內部和邊界上的作物株數，分別求出基本事件的個數，即可求它們恰好“相近”的概率；
（2）確定變量的取值，求出相應的概率，從而可得年收獲量的分布列．

解答 解：（1）所種作物總株數N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地塊內部的作物株數為3，邊界上的作物株數為12，從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株的不同結果有${C}_{3}^{1}{•C}_{12}^{1}=36$種，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結果有3+3+2=8，∴從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率為$\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$，
（2）先求從所種作物中隨機選取一株作物的年收獲量為Y的分布列
∵P（Y=51）=P（X=1），P（Y=48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）
∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可．
記n_k為其“相近”作物恰有k株的作物株數（k=1，2，3，4），則n₁=2，n₂=4，n₃=6，n₄=3
由P（X=k）=$\frac{nk}{N}$得P（X=1）=$\frac{2}{15}$，P（X=2）=$\frac{4}{15}$，P（X=3）=$\frac{6}{15}$，P（X=4）=$\frac{3}{15}$
∴所求的分布列為

Y	51	48	45	42
P	$\frac{2}{15}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{6}{15}$	$\frac{3}{15}$

數學期望為E（Y）=$51×\frac{2}{15}+48×\frac{4}{15}+45×\frac{6}{15}+42×\frac{3}{15}=46$．

點評 本題考查古典概率的計算，考查分布列與數學期望，考查學生的計算能力，屬于中檔題．