Question

17．設f（x）=x²-2ax+2a．
（1）若函數f（x）在區間[1，2]上的最小值是-3，求a的值；
（2）若不等式f（x）＞0對于任意的x∈[-2，-1]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）判斷對稱軸x=2a與區間[1，2]的位置關系，分類討論求a值；
（2）不等式f（x）＞0對于任意的x∈[-2，-1]恒成立即轉化為即$\frac{1}{2}$（$\frac{{x}^{2}}{x-1}$）＜a 在任意的x∈[-2，-1]時左邊函數的最大值．

解答 解：一元二次函數開口朝上，對稱軸為x=2a；
（1）①當2a≤1，即a$≤\frac{1}{2}$時，最小值為f（1）=1-2a+2a=0，與題意不符，舍去；
②當1＜2a＜2，即$\frac{1}{2}$＜a≤1時，最小值為f（2a）=4a²-4a²+2a=2a=-3，解得a=-$\frac{3}{2}$，與題意不符，舍去；
③當2a≥2，即a＞1時，最小值為f（2）=4-4a+2a=4-2a=-3，解得a=$\frac{7}{2}$，滿足題意；
綜上可知，a=$\frac{7}{2}$．
（2）∵x∈[-2，-1]，f（x）=x²-2ax+2a＞0，
化簡后：$\frac{{x}^{2}}{2x-2}$＜a，即$\frac{1}{2}$（$\frac{{x}^{2}}{x-1}$）＜a；
令h（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$；
換元t=$\frac{1}{x}$∈[-1，-$\frac{1}{2}$]，得：g（t）=t-t²，g（t）在t∈[-1，-$\frac{1}{2}$]上單調遞增，
故g（t）∈[-2，-$\frac{3}{4}$]⇒$\frac{1}{2}$×$\$ $\frac{{x}^{2}}{x-1}$∈[-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{4}$]；
所以，a≥-$\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查了一元二次函數的基本圖形性質，以及分離參數法與恒成立問題，屬中等題．