Question

7．某地自來水苯超標，當地自來水公司對水質檢測后，決定在水中投放一種藥劑來凈化水質，已知每投放質量為m的藥劑后，經過x天該藥劑在水中釋放的濃度y（毫克/升）滿足y=mf（x），其中f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{25}+2，（{0＜x≤5}）\\ \frac{x+19}{2x-2}，（{x＞5}）\end{array}$，當藥劑在水中的濃度不低于5（毫克/升）時稱為有效凈化；當藥劑在水中的濃度不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）時稱為最佳凈化．
（Ⅰ）如果投放的藥劑質量為m=5，試問自來水達到有效凈化一共可持續幾天？
（Ⅱ）如果投放的藥劑質量為m，為了使在9天（從投放藥劑算起包括9天）之內的自來水達到最佳凈化，試確定應該投放的藥劑質量m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定m=5，利用分段函數，解不等式，即可求得結論；
（Ⅱ）由題意，?x∈（0，9]，結合函數解析式，確定函數單調性，求出其服務，即可求出投放的藥劑質量m的最小值．

解答 解：（Ⅰ）當m=5時，$y=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{5}+10，（{0＜x≤5}）\\ \frac{5x+95}{2x-2}，（{x＞5}）\end{array}\right.$，…（2分）
當0＜x≤5時，$\frac{x^2}{5}+10≥5$顯然符合題意；…（3分）
當x＞5時，由$\frac{5x+95}{2x-2}≥5$可得5＜x≤21；…（5分）
綜上0＜x≤21，所以自來水達到有效凈化一共可持續21天…（6分）
（Ⅱ）由$y=mf（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{{m{x^2}}}{25}+2m，（{0＜x≤5}）\\ \frac{{m（{x+19}）}}{2x-2}，（{x＞5}）\end{array}\right.$…（7分）
當0＜x≤5時，$y=\frac{{m{x^2}}}{25}$+2m在區間（0，5]上單調遞增，所以2m＜y≤3m；…（2分）
當x＞5時，$y'=\frac{-40m}{{{{（{2x-2}）}^2}}}＜0$，所以函數在（5，9]上單調遞減，從而得到$\frac{7m}{4}≤y＜3m$，
綜上可知：$\frac{7m}{4}≤y≤3m$，…（11分）
為使5≤y≤10恒成立，只要$\left\{\begin{array}{l}\frac{7m}{4}≥5\\ 3m≤0\end{array}\right.$即可，
所以$\frac{20}{7}≤y≤\frac{10}{3}$，…（12分）
所以應該投放的藥劑質量m的最小值為$\frac{20}{7}$．…（13分）

點評 本題考查函數模型的選擇與應用，考查學生解不等式的能力，確定函數模型是關鍵．