Question

20．某廠生產的某種產品包括一等品和二等品，如果生產出一件一等品，可獲利200元，如果生產出一件二等品則損失100元，已知該廠生產該種產品的過程中，二等品率p與日產量x的函數關系是：p=$\frac{3x}{4x+32}$（x∈N^*），問該廠的日產量為多少件時，可獲得最大盈利，并求出最大日盈利額．（二等品率p為日產二等品數與日產量的比值）

Answer 1

分析 設日盈利額為y元，每天生產x件產品時，二等品數，一等品數，求出函數關系式，利用導數求解函數的單調性．求解函數的最大值即可．

解答 解：設日盈利額為y元，每天生產x件產品時，二等品數為$xp=\frac{{3{x^2}}}{4x+32}$，
一等品數為$x（1-p）=x（1-\frac{3x}{4x+32}）$=$\frac{{{x^2}+32x}}{4x+32}$．…（2分）
所以$y=\frac{{200（{x^2}+32x）}}{4x+32}-\frac{{100•3{x^2}}}{4x+32}$=$\frac{{25（64x-{x^2}）}}{x+8}$．…（6分）
下面考慮其在（0，+∞）上的單調性．
求導，得$y'=-\frac{25（x+32）（x-16）}{{{{（x+8）}^2}}}$．
當x∈（0，16）時，y'＞0；當x∈（16，+∞）時，y'＜0．
所以$y=\frac{{25（64x-{x^2}）}}{x+8}$在（0，16）內為增函數，在（16，+∞）內為減函數．…（10分）
所以當x=16時，y最大，且y_max=800元．
即該廠的日產量為16件時，可獲得最大盈利，最大盈利為800元． …（12分）

點評 本題考查函數的實際應用，函數的解析式的求法，導數在最值中的應用，考查轉化思想以及計算能力．