Question

15．設等比數列{a_n}的前n項和為S_n，已知，a₁=2，且4S₁，3S₂，2S₃成等差數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的公比q
（Ⅱ）設b_n=n+a_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）由4S₁，3S₂，2S₃成等差數列．可得2×3S₂=4S₁+2S₃．即6a₁（1+q）=4a₁+2a₁（1+q+q²），a₁≠0，解得q．
（II）由（I）可得：a_n=2ⁿ．b_n=n+a_n=n+2ⁿ，利用等差數列與等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）∵4S₁，3S₂，2S₃成等差數列．∴2×3S₂=4S₁+2S₃．
∴6a₁（1+q）=4a₁+2a₁（1+q+q²），a₁≠0，
化為：q²-2q=0，q≠0，解得q=2．
（II）由（I）可得：a_n=2ⁿ．
b_n=n+a_n=n+2ⁿ．
∴數列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$
=$\frac{n（n+1）}{2}$+2ⁿ⁺¹-2．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．