Question

11．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的長軸長為4，焦距為2．
（1）求橢圓C的方程：
（2）過點D（0，1）且斜率為k的動直線l與橢圓C相交于A、B兩點，E是y軸上異于點D的一點，記△EAD與△EBD的面積分別為S₁，S₂，滿足S₁=λS₂，其中λ=$\frac{{|{EA}|}}{{|{EB}|}}$．
（i）求點E的坐標：
（ii）若λ=2，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由a=2，c=1，b²=a²-c²=3，即可求得橢圓方程；
（2）（i）根據三角形的面積公式，求得sin∠AED=sin∠BED，則∠AED=∠BED，可得k₁+k₂=0，設直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式，即可求得m的值，求得點E的坐標：
（ii）由（i）可知：$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DB}$，根據向量的數量積的坐標運算及韋達定理即可求得k的值，求得直線l的方程．

解答 解：（1）由橢圓的焦點在x軸上，2a=4，a=2，焦距2c=2，c=1．
則b²=a²-c²=3，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）（i）由S₁=$\frac{1}{2}$丨EA丨丨ED丨sin∠AED，S₂=$\frac{1}{2}$丨EB丨丨ED丨sin∠BED，
S₁=λS₂，丨EA丨sin∠AED=λ丨EB丨sin∠BED，
由λ=$\frac{{|{EA}|}}{{|{EB}|}}$．則sin∠AED=sin∠BED，
由∠AED+∠BED＜π，∴∠AED=∠BED，
因此直線EA和ED的傾斜角互補，
由題意可知直線EA和EB的斜率存在，分別設為k₁，k₂，則k₁+k₂=0，
由題意可知，直線l的方程y=kx+1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+8kx-8=0，
由△＞0恒成立，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（0，m），
x₁+x₂=-$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{8}{3+4{k}^{2}}$，
k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-m}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}-m}{{x}_{2}}$=$\frac{k{x}_{1}+1-m}{{x}_{1}}$+$\frac{k{x}_{2}+1-m}{{x}_{2}}$，
=2k+（1-m）（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=2k+（1-m）$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
=2k+k（1-m）=k（3-m），
由k₁+k₂=0，則k（3-m）=0，對任意k∈R恒成立，則m=3，
∴存在點E點坐標為（0，3）；
（ii）由λ=2時，S₁=2S₂，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=2，
為△EAD與△EBD都以E為頂點，又有相同的高，則$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{丨AD丨}{丨DB丨}$，
∴$\frac{丨AD丨}{丨DB丨}$=2，則$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DB}$，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（0，1），則$\overrightarrow{AD}$=（-x₁，1-y₁），$\overrightarrow{DB}$=（x₂，y₂-1），
由$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DB}$，則（-x₁，1-y₁）=2（x₂，y₂-1），
∴-x₁=2x₂，即x₁=-2x₂，代入解得：-x₂=-$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$，-x₂²=$\frac{8}{3+4{k}^{2}}$，
∴x₂=$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$，x₂²=$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$，
∴（$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$）²=$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$，解得：k=±$\frac{1}{2}$，
∴直線l的方程為：y=$\frac{1}{2}$x+1或y=-$\frac{1}{2}$x+1．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，向量的坐標運算，直線斜率公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．