Question

5．非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，滿足|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|=|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=2|$\overrightarrow a$|，則向量$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$夾角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由已知向量等式可得$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，畫出圖形，求解直角三角形可得向量$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$夾角為60°，從而求得向量$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$夾角的余弦值．

解答 解：∵|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|=|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|，∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}=（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}$，
即${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，即$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，
如圖，設$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{AB}=\overrightarrow$，則$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，
∵|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=2|$\overrightarrow a$|，∴sin∠BAC=$\frac{BC}{AC}=\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}=\frac{1}{2}$，則∠BAC=30°，
∴∠DAC=60°，即向量$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$夾角為60°，其余弦值為$\frac{1}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查數量積表示兩個向量的夾角，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．