Question

5．在如圖所示的三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是BC，A₁B₁的中點(diǎn)．
（1）求證：DE∥平面ACC₁A₁；
（2）若△ABC為正三角形，且AB=AA₁，M為AB上的一點(diǎn)，$AM=\frac{1}{4}AB$，求直線DE與直線A₁M所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點(diǎn)F，連接DF，EF，推導(dǎo)出DF∥AC，從而DF∥平面ACC₁A₁；再推導(dǎo)出EF∥AA₁，從而EF∥平面ACC₁A₁，進(jìn)而平面DEF∥平面ACC₁A₁，由此能證明DE∥平面ACC₁A₁．
（2）推導(dǎo)出平面ABC⊥平面ABB₁A₁，連接CF，推導(dǎo)出CF⊥平面ABB₁A₁，取BF的中點(diǎn)G，連接DG，EG，從而DG⊥平面ABB₁A₁，進(jìn)而∠DEG即為直線DE與直線A₁M所成角，由此能求出直線DE與直線A₁M所成角的正切值．

解答 證明：（1）取AB的中點(diǎn)F，連接DF，EF…（1分）
在△ABC中，因?yàn)镈，F(xiàn)分別為BC，AB的中點(diǎn)，
所以DF∥AC，DF?平面ACC₁A₁，AC?平面ACC₁A₁，
所以DF∥平面ACC₁A₁…（3分）
在矩形ABB₁A₁中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為A₁B₁，AB的中點(diǎn)，
所以EF∥AA₁，EF?平面 ACC₁A₁，AA₁?平面ACC₁A₁，所以EF∥平面ACC₁A₁…（4分）
因?yàn)镈F∩EF=F，所以平面DEF∥平面ACC₁A₁…（5分）
因?yàn)镈E?平面DEF，所以DE∥平面ACC₁A₁…（6分）
解：（2）因?yàn)槿�棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，所以平面ABC⊥平面ABB₁A₁，
連接CF，因?yàn)椤鰽BC為正三角形，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，所以CF⊥AB，所以CF⊥平面ABB₁A₁，
取BF的中點(diǎn)G，連接DG，EG，可得DG∥CF，故DG⊥平面ABB₁A₁，
又因?yàn)?AM=\frac{1}{4}AB$，所以EG∥A₁M，
所以∠DEG即為直線DE與直線A₁M所成角…（9分）
設(shè)AB=4，在Rt△DEG中，$DG=\frac{1}{2}CF=\sqrt{3}，EG=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$，
所以$tan∠DEG=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{17}}}=\frac{{\sqrt{51}}}{17}$，
故直線DE與直線A₁M所成角的正切值為$\frac{\sqrt{51}}{17}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．