Question

18．已知函數f（x）=e^x+ax-3，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=-2．
（1）求實數a的值及函數f（x）的單調區間；
（2）用[m]表示不超過實數m的最大整數，如：[0，3]=0，[-1，3]=-2，若x＞0時，（m-x）e^x＜m+2，求[m]的最大值．

Answer 1

分析 （1）由條件，曲線在（0，f（0））處的切線斜率k=0，即f'（0）=1+a=0，可得a=-1，f'（x）=e^x-1，再通過解不等式即可求出單調區間；
（2）利用轉化思想，x＞0時，不等式（m-x）e^x＜m+2等價于$m＜\frac{{x{e^x}+2}}{{{e^x}-1}}$，然后構造新函數，記g（x）=$\frac{x{e}^{x}+2}{{e}^{x}-1}$，根據（1）的結論可得存在x₀∈（1，2），使得g'（x₀）=0，且g（x）_min=g（x₀），再通過化簡運算可得g（x）_min=x₀+1，由x₀∈（1，2），即可求出[m]的最大值．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域為（-∞，+∞），f'（x）=e^x+a，
由條件，f'（0）=1+a=0，得a=-1，則f'（x）=e^x-1
由f'（x）=e^x-1＞0得x＞0，由f'（x）＜0得x＜0，
故函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），單調遞減區間為（-∞，0）．
（2）x＞0時，不等式（m-x）e^x＜m+2等價于$m＜\frac{{x{e^x}+2}}{{{e^x}-1}}$，
令$g（x）=\frac{{x{e^x}+2}}{{{e^x}-1}}$，∴$g'（x）=\frac{{{e^x}（{{e^x}-x-3}）}}{{{{（{{e^x}-1}）}^2}}}$，
由（1）得u（x）=e^x-x-3在（0，+∞）上單調遞增，
又∵u（1）＜0，u（2）＞0，
∴g'（x）在（0，+∞）上有唯一零點x₀，且1＜x₀＜2，
∴當x∈（1，x₀）時，g'（x）＜0，當x∈（x₀+∞）時，g'（x）＞0，
∴g（x）_min=g（x₀），由g'（x₀）=0得${e^{x_0}}={x_0}+3$，
∴g（x）_min=$g（{x_0}）=\frac{{{x_0}（{{x_0}+3}）+2}}{{{x_0}+2}}={x_0}+1$，
∵1＜x₀＜2，∴2＜g（x₀）＜3，
∵m＜g（x₀），∴[m]的最大值為2．

點評 本題考查了利用導數求切線的斜率和函數的單調區間，以及函數恒成立問題，著重考查了數學轉化思想方法，以及函數最值的求法，利用參數分離法是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．