Question

7．若函數f（x）=ae^-x-e^x為奇函數，則f（x）＜e-$\frac{1}{e}$的解集為（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，2）
• C． （2，+∞）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 根據f（x）為R上的奇函數便有f（0）=0，從而可求得a=1，這便得到f（x）=e^-x-e^x，求導數可得出f′（x）＜0，從而得出f（x）在R上單調遞減，而f（-1）=e-$\frac{1}{e}$，從而由原不等式得到f（x-1）＜f（-1），從而有x-1＞-1，這樣便可得出原不等式的解集．

解答 解：f（x）在R上為奇函數；
∴f（0）=0；
即a-1=0；
∴a=1；
∴f（x）=e^-x-e^x，f'（x）=-e^-x-e^x＜0；
∴f（x）在R上單調遞減；
∴由f（x-1）＜e-$\frac{1}{e}$=f（-1）得：x-1＞-1；
即x＞0；
∴原不等式的解集為（0，+∞）．
故選：D．

點評 考查奇函數的定義，以及奇函數在原點有定義時，原點處的函數值為0，根據導數符號判斷函數單調性的方法，根據減函數的定義解不等式的方法．