Question

18．已知函數$f（x）=|2-\frac{1}{x}|，（x＞0）$．
（Ⅰ）是否存在實數a，b（0＜a＜b），使得函數y=f（x）的定義域、值域都是[a，b]？若存在，則求出a，b的值，若不存在，請說明理由；
（Ⅱ）若存在實數a，b（0＜a＜b），使得函數y=f（x）的定義域是[a，b]，值域是[ma，mb]（m＞0），求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）可假設存在實數a，b，使得y=f（x）的定義域和值域都是[a，b]，由此出發探究a，b的可能取值，可分三類：a，b∈（0，$\frac{1}{2}$）時，a，b∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時，a∈（0，$\frac{1}{2}$），b∈（$\frac{1}{2}$，+∞），分別建立方程，尋求a，b的可能取值，若能求出這樣的實數，則說明存在，否則說明不存在；
（II）由題意，由函數y=f （x）的定義域為[a，b]，值域為[ma，mb]（m≠0）可判斷出m＞0及a＞0，結合（I）的結論知只能a，b∈（$\frac{1}{2}$，+∞），由函數在此區間內是增函數，建立方程，即可得到實數m所滿足的不等式，解出實數m的取值范圍．

解答 解：（I）不存在實數a，b滿足條件．
假設存在實數a，b，使得y=f（x）的定義域和值域都是[a，b]，
而y≥0，x≠0，所以應有a＞0，
又f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{1}{x}，x≥\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{x}-2，0＜x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$
（1）當a，b∈（0，$\frac{1}{2}$）時，f（x）=$\frac{1}{x}$-2在（0，$\frac{1}{2}$）上為減函數，
故有 $\left\{\begin{array}{l}{f（a）=b}\\{f（b）=a}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}-2=b}\\{\frac{1}{b}-2=a}\end{array}\right.$，由此可得a=b，此時實數a，b的值不存在．
（2）當a，b∈[$\frac{1}{2}$，+∞）時，f（x）=2-$\frac{1}{x}$在∈（$\frac{1}{2}$，+∞）上為增函數，
故有 $\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{1}{a}=a}\\{2-\frac{1}{b}=b}\end{array}\right.$由此可得a，b是方程x²-2x+1=0的根，但方程有兩個相等實根，所以此時不成立．
（3）當a∈（0，$\frac{1}{2}$），b∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時，顯然$\frac{1}{2}$∈[a，b]，而f（$\frac{1}{2}$）=0∈[a，b]不可能，
此時a，b也不存在；
綜上可知，適合條件的實數a，b不存在．
（II）若存在實數a，b使函數y=f（x）的定義域為[a，b]，值域為[ma，mb]（m≠0）．
由mb＞ma，b＞a得m＞0，而ma＞0，所以a＞0
由（I）知a，b∈（0，$\frac{1}{2}$）或a∈（0，$\frac{1}{2}$），b∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時，適合條件的實數a，b不存在，
故只能是a，b∈（$\frac{1}{2}$，+∞）
∵f（x）=2-$\frac{1}{x}$在∈（$\frac{1}{2}$，+∞）上為增函數，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=ma}\\{f（b）=mb}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{1}{a}=ma}\\{2-\frac{1}{b}=mb}\end{array}\right.$∴a，b是方程mx²-2x+1=0的兩個不等實根，
且二實根均大于$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4-4m＞0}\\{\frac{1}{4}m-1+1＞0}\\{\frac{1}{m}＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解之得0＜m＜1，
故實數m的取值范圍是（0，1）．

點評 本題的考點是函數與方程的綜合應用，考察了絕對值函數，函數的定義域、值域構造方程的思想，二次方程根與系數的關系等，解題的關鍵是理解題意，將問題正確轉化，進行分類討論探究，本題考察了分類討論的思想，方程的思想，考察了推理判斷能力，是一道綜合性較強的題，思維難度大，解題時要嚴謹，本題易因為考慮不完善出錯．