Question

8．知曲線C的極坐標方程為3ρsinθ+2ρcosθ=2，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=1+3cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.（α$為參數）．
（1）求曲線C，C₁的普通方程；
（2）若點M在曲線C₁上運動，試求出M到曲線C的距離的范圍．

Answer 1

分析 （1）消去參數，得到普通方程，利用極坐標與直角坐標互化方法得到直角坐標方程；
（2）設點M（1+3cosα，2sinα），由點到直線的距離公式得M到曲線C的距離的范圍．

解答 解：（1）曲線C：2x+3y-2=0，曲線C₁的普通方程是：${C_1}：\frac{{{{（{x-1}）}^2}}}{9}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）C：2x+3y-2=0，設點M（1+3cosα，2sinα），由點到直線的距離公式得$d=\frac{{|{2+6cosα+6sinα-2}|}}{{\sqrt{13}}}=\frac{{6\sqrt{2}}}{{\sqrt{13}}}|{cos（{α-\frac{π}{4}}）}|=\frac{{6\sqrt{26}}}{13}|{cos（{α-\frac{π}{4}}）}|$
∴$0≤|{cos（{α-\frac{π}{4}}）}|≤1$時，∴$0≤d≤\frac{{6\sqrt{26}}}{13}$．

點評 本題考查參數方程、極坐標方程、直角坐標方程的互化，考查點到直線距離公式，屬于中檔題．