Question

18．若函數f（x）=log₂（a-2^x）+x-1存在零點，則實數a的取值范圍是a≥2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據函數零點與對應方程根之間的關系，我們可將f（x）存在零點轉化為方程log₂（a-2^x）=1-x有根，結合對數方程和指數方程的解法，我們可將他轉化為一個二次方程根的存在性總是，再根據二次方程根的個數與△的關系及韋達定理，我們易構造一個關于a的不等式，解不等式即可求出實數a的取值范圍．

解答 解：若f（x）存在零點，
則方程log₂（a-2^x）=1-x有根
即2^1-x=a-2^x有根，
令2^x=t（t＞0）
則原方程等價于$\frac{2}{t}$=a-t有正根
即t²-at+2=0有正根，
根據根與系數的關系t₁t₂=2＞0，
即若方程有正根，必有兩正根，
故有$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=a＞0}\\{{a}^{2}-8≥0}\end{array}\right.$，∴a≥2$\sqrt{2}$．
故答案為：$a≥2\sqrt{2}$．

點評 本題考查的知識點是函數零點的判定定理，其中根據指數方程和對數方程的解法，將函數對應的方程轉化為一個二次方程是解答的關鍵．