Question

15．已知函數f（x）=2x-$\frac{a}{x}$，且f（2）=$\frac{9}{2}$．
（1）求實數a的值；
（2）判斷該函數的奇偶性；
（3）判斷函數f（x）在（1，+∞）上的單調性，并證明．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）=2x-$\frac{a}{x}$，且f（2）=$\frac{9}{2}$，求實數a的值；
（2）利用奇偶函數的定義判斷該函數的奇偶性；
（3）判斷函數f（x）在（1，+∞）上的單調性，利用定義進行證明．

解答 解：（1）∵f（x）=2x-$\frac{a}{x}$，且f（2）=$\frac{9}{2}$，
∴4-$\frac{a}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴a=-1；（2分）
（2）由（1）得函數$f（x）=2x+\frac{1}{x}$，定義域為{x|x≠0}關于原點對稱…（3分）
∵$f（-x）=2（-x）+\frac{1}{-x}$=$-2x-\frac{1}{x}=-（2x+\frac{1}{x}）=-f（x）$，
∴函數$f（x）=2x+\frac{1}{x}$為奇函數．…（6分）
（3）函數f（x）在（1，+∞）上是增函數，…（7分）
任取x₁，x₂∈（1，+∞），不妨設x₁＜x₂，則$f（{x_2}）-f（{x_1}）=2{x_2}+\frac{1}{x_2}-（2{x_1}+\frac{1}{x_1}）=2（{x_2}-{x_1}）+（\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}）=2（{x_2}-{x_1}）+（\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}）$=$（{x_2}-{x_1}）（2-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}）=\frac{{（{x_2}-{x_1}）（2{x_1}{x_2}-1）}}{{{x_1}{x_2}}}$…（10分）
∵x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂∴x₂-x₁＞0，2x₁x₂-1＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（1，+∞）上是增函數    …（12分）

點評 本題考查函數的單調性與奇偶性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．