Question

7．如圖，在平面直角坐標系中，銳角α、β及角α+β的終邊分別與單位圓O交于A，B，C三點．分別作AA'、BB'、CC'垂直于x軸，若以|AA'|、|BB'|、|CC'|為三邊長構造三角形，則此三角形的外接圓面積為（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． π

Answer 1

分析 由題意可求三角形的三邊長為sinα、sinβ、sin（α+β），設邊長為sin（α+β）的所對的三角形內角為θ，由余弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡可得cosθ=-cos（α+β），結合角的范圍利用同角三角函數基本關系式可求sinθ，利用正弦定理可求三角形外接圓的半徑，利用圓的面積公式即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：由題意可得：|AA'|=sinα、|BB'|=sinβ、|CC'|=sin（α+β），
設邊長為sin（α+β）的所對的三角形內角為θ，
則由余弦定理可得，cosθ=$\frac{si{n}^{2}α+si{n}^{2}β-si{n}^{2}（α+β）}{2sinαsinβ}$
=$\frac{si{n}^{2}α+si{n}^{2}β-（sinαcosβ）^{2}-（cosαsinβ）^{2}}{2sinαsinβ}$-cosαcosβ
=$\frac{si{n}^{2}α（1-co{s}^{2}β）+si{n}^{2}β（1-co{s}^{2}α）}{2sinαsinβ}$-cosαcosβ
=sinαsinβ-cosαcosβ
=-cos（α+β），
∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$）
∴α+β∈（0，π）
∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=sin（α+β）
設外接圓的半徑為R，則由正弦定理可得2R=$\frac{sin（α+β）}{sin（α+β）}$=1，
∴R=$\frac{1}{2}$，
∴外接圓的面積S=πR²=$\frac{π}{4}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了余弦定理，三角函數恒等變換的應用，同角三角函數基本關系式，正弦定理，圓的面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想和數形結合思想，屬于中檔題．