Question

函數y=

1

x-1

的圖象與函數y=2sinπx（-2≤x≤4）的圖象所有交點的橫坐標之和等于

4

．

Answer 1

分析：y1=

1

x-1

的圖象由奇函數y =

1

x

的圖象向右平移1個單位而得，所以它的圖象關于點（1，0）中心對稱，再由正弦函數的對稱中心公式，可得函數y₂=2sinπx的圖象的一個對稱中心也是點（1，0），故交點個數為偶數，且對稱點的橫坐標之和為2

解答：解：函數y₁=

1

x-1

與y2=2sinπx的圖象有公共的對稱中心（1，0），作出兩個函數的圖象，
當1＜x≤4時，y₁≥

1

3

，
而函數y₂在（1，4）上出現1.5個周期的圖象，在(2，

5

2

)上是單調增且為正數函數，
y₂在（1，4）上出現1.5個周期的圖象，在(

5

2

，3)上是單調減且為正數，
∴函數y₂在x=

5

2

處取最大值為2≥

2

3

，
而函數y₂在（1，2）、（3，4）上為負數與y₁的圖象沒有交點，
所以兩個函數圖象在（1，4）上有兩個交點（圖中C、D），
根據它們有公共的對稱中心（1，0），可得在區間（-2，1）上也有兩個交點（圖中A、B），
并且：x_A+x_D=x_B+x_C=2，故所求的橫坐標之和為4，
故答案為：4．

點評：本題考查函數的零點與方程的根的關系，考查數形結合思想，發現兩個圖象公共的對稱中心是解決本題的入口，討論函數y₂=2sinπx的單調性找出區間（1，4）上的交點個數是本題的難點所在．