Question

6．在平面直角坐標系xOy中，已知圓M：（x+1）²+y²=$\frac{49}{4}$的圓心為M，圓N：（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$的圓心為N，一動圓與圓M內切，與圓N外切．
（Ⅰ）求動圓圓心P的軌跡方程；
（Ⅱ）過點（1，0）的直線l與曲線P交于A，B兩點，若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-2，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設動圓P的半徑為r，推出|PM|+PN|=4＞|MN|，由橢圓定義知，點P的軌跡是以M、N為焦點，焦距為2，實軸長為4的橢圓，然后求解方程．
（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，求出數量積．當直線的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$消去y，利用韋達定理轉化求解數量積，求出斜率，即可得到直線l的方程．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設動圓P的半徑為r，則|PM|=$\frac{7}{2}$-r，|PN|=r+$\frac{1}{2}$．
兩式相加，得|PM|+PN|=4＞|MN|，…（2分）
由橢圓定義知，點P的軌跡是以M、N為焦點，焦距為2，實軸長為4的橢圓，其方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，則$A（{1，\frac{3}{2}}）$，$B（{1，-\frac{3}{2}}）$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-\frac{5}{4}≠-2$．…（6分）
當直線的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$消去y，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，則有${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4（{k^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}$，…（8分）$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+{k^2}（{x_1}-1）（{x_2}-1）$=$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}-{k^2}（{x_1}+{x_2}）+{k^2}$=$\frac{{-5{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$．…（10分）
由已知，得$\frac{{-5{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}=-2$，解得$k=±\sqrt{2}$．
故直線l的方程為$y=±\sqrt{2}（x-1）$．…（12分）

點評 本題考查橢圓的簡單性質的應用，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．