Question

20．有關向量的如下命題中，正確命題的個數為（　　）
①若$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c\;（\overrightarrow{b}≠\overrightarrow 0）$，則$\overrightarrow a$=$\overrightarrow c$②$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c）$=（$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow{c}$
③在△ABC中，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}$，則點P必為△ABC的垂心．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據平面向量的數量積定義判斷①②，移項化簡判斷③．

解答 解：對于①，在等邊三角形中，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}$，顯然$\overrightarrow{AB}≠\overrightarrow{CA}$，故①錯誤；
對于②，$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c）$表示與$\overrightarrow{a}$共線的向量，（$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow{c}$表示與$\overrightarrow{c}$共線的向量，顯然$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c）$≠（$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow{c}$，故②錯誤；
對于③，若$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}$，則$\overrightarrow{PB}•$（$\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PC}$）=0，即$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{CA}=0$，
∴PB⊥CA，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，
∴P是△ABC的垂心，故③正確．
故選B．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算，屬于中檔題．