Question

11．已知函數(shù)f（x）=x³-2x．
（1）若關于x的方程f（x）=a有三個不同的實數(shù)解，求a的取值范圍．
（2）求過曲線f（x）上的點A（1，-1）的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到導函數(shù)的零點，由導函數(shù)的零點對定義域分段，得到原函數(shù)的單調性，求出極值，可得使關于x的方程f（x）=a有三個不同的實數(shù)解的a的取值范圍；
（2）設切點坐標，求出函數(shù)在切點處切線方程，代入A點坐標，求出切點橫坐標得所求切線方程．

解答 解：（1）f（x）=x³-2x，則f′（x）=3x²-2，
由f′（x）=0，得x=$±\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴當x∈（-∞，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）∪（$\frac{\sqrt{6}}{3}，+∞$）時，f′（x）＞0，
當x∈（-$\frac{\sqrt{6}}{3}，\frac{\sqrt{6}}{3}$）時，f′（x）＜0，
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），（$\frac{\sqrt{6}}{3}，+∞$）；減區(qū)間為（-$\frac{\sqrt{6}}{3}，\frac{\sqrt{6}}{3}$）．
∴f（x）_極大=f（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）=$\frac{4\sqrt{6}}{9}$；f（x）_極小=$f（\frac{\sqrt{6}}{3}）=-\frac{4\sqrt{6}}{9}$．
∴要使關于x的方程f（x）=a有三個不同的實數(shù)解，則a的取值范圍為（-$\frac{4\sqrt{6}}{9}，\frac{4\sqrt{6}}{9}$）；
（2）設切線為$（{x}_{0}，{{x}_{0}}^{3}-2{x}_{0}）$，f′（x₀）=$3{{x}_{0}}^{2}-2$．
∴切線方程為$y-（{{x}_{0}}^{3}-2{x}_{0}）=（3{{x}_{0}}^{2}-2）（x-{x}_{0}）$．
把A（1，-1）代入，得$2{{x}_{0}}^{3}-3{{x}_{0}}^{2}+1=0$，解得x₀=1或$-\frac{1}{2}$．
∴所求切線方程為x-y-2=0，5x+4y-1=0．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，關鍵是“在某點”與“過某點”的區(qū)別，是中檔題．