Question

已知f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求證：f（x²）=2f（x）；
（2）求f（1）的值；
（3）若f（x）+f（x+3）≤2，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）令x=y代入f（xy）=f（x）+f（y）可得f（x²）=f（x）+f（x）=2f（x）；
（2）令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），從而可解得f（1）=0；
（3）令x=y=2，得f（4）=2，則f（x）+f（x+3）≤f（4），利用函數的單調性及定義域可得

x•(x+3)≤4 x＞0 x+3＞0

，從而解得．

解答： 解：（1）證明：令x=y，
則由f（xy）=f（x）+f（y）可得，
f（x²）=f（x）+f（x）=2f（x）；
（2）令x=y=1，得
f（1）=f（1）+f（1），
則f（1）=0；
（3）令x=y=2，得f（4）=2，
則f（x）+f（x+3）≤f（4），
則

x•(x+3)≤4 x＞0 x+3＞0

，
解得0＜x≤1．

點評：本題考查了抽象函數的性質判斷與應用，屬于中檔題．