Question

9．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sinA=$\frac{2}{3}$，sinB=2cosC且c²-a²=b，則b=3．

Answer 1

分析 由c²-a²=b，可得c＞a，A為銳角，利用同角三角函數基本關系式可求cosA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，利用余弦定理可求$\frac{b+1}{2c}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，根據兩角和的正弦函數公式，同角三角函數基本關系式進而可求tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，從而由正弦定理可得$\frac{b}{c}$=$\frac{2}{tanC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，聯立即可解得b的值．

解答 解：∵c²-a²=b，可得：c²=a²+b，即c＞a，
∴A為銳角，
∵sinA=$\frac{2}{3}$，
∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+b}{2bc}$=$\frac{b+1}{2c}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，①
∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{2}{3}$cosC+$\frac{\sqrt{5}}{3}$sinC=2cosC，
可得：tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
∴$\frac{b}{c}$=$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{2cosC}{sinC}$=$\frac{2}{tanC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，②
由①②可得b=3．
故答案為：3．

點評 本題主要考查了同角三角函數基本關系式，余弦定理，兩角和的正弦函數公式，同角三角函數基本關系式，正弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．