Question

2．已知函數f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x的圖象與函數y=g（x）的圖象關于直線y=x對稱．
（1）若f（g（x））=6-x²，求實數x的值；
（2）若函數y=g（f（x²））的定義域為[m，n]（m≥0），值域為[2m，2n]，求實數m，n的值；
（3）當x∈[-1，1]時，求函數y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值h（a）．

Answer 1

分析 （1）根據函數的對稱性即可求出g（x），即可得到f（g（x））=x，解得即可．
（2）先求出函數的解析式，得到$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=2m}\\{{n}^{2}=2n}\end{array}\right.$，解得m=0，n=2，
（3）由x∈[-1，1]可得t∈[$\frac{1}{2}$，2]，結合二次函數的圖象和性質，對a進行分類討論，即可得到函數y=f²（x）-2af（x）+3的最小值h（a）的表達式．

解答 解：（1）∵函數f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x的圖象與函數y=g（x）的圖象關于直線y=x對稱，
∴g（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$，
∵f（g（x））=6-x²，
∴$（\frac{1}{2}）^{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$=6-x²=x，
即x²+x-6=0，
解得x=2或x=-3（舍去），
故x=2，
（2）y=g（f（x²））=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{1}{{2}^{{x}^{2}}}）$=x²，
∵定義域為[m，n]（m≥0），值域為[2m，2n]，
$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=2m}\\{{n}^{2}=2n}\end{array}\right.$，
解得m=0，n=2，
（3）令t=（$\frac{1}{2}$）^x，
∵x∈[-1，1]，
∴t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
則y=[f（x）]²-2af（x）+3等價為y=m（t）=t²-2at+3，
對稱軸為t=a，
當a＜$\frac{1}{2}$時，函數的最小值為h（a）=m（$\frac{1}{2}$）=$\frac{13}{4}$-a；
當$\frac{1}{2}$≤a≤2時，函數的最小值為h（a）=m（a）=3-a²；
當a＞2時，函數的最小值為h（a）=m（2）=7-4a；
故h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{7-4a，a＞2}\\{-{a}^{2}+3，\frac{1}{2}≤a≤2}\\{-a+\frac{13}{4}，a＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$

點評 本題考查的知識點是指數函數的圖象和性質，二次函數的圖象和性質，分段函數，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．