Question

12．已知直線l的方程為y=x+2，點P是拋物線y²=4x上到直線l距離最小的點，點A是拋物線上異于點P的點，直線AP與直線l交于點Q，過點Q與x軸平行的直線與拋物線y²=4x交于點B．
（Ⅰ）求點P的坐標；
（Ⅱ）證明直線AB恒過定點，并求這個定點的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用點到直線的距離公式，求出最小值，然后求點P的坐標；
（Ⅱ）設點A的坐標為$（{\frac{y_1^2}{4}，{y_1}}）$，顯然y₁≠2．通過當y₁=-2時，求出直線AP的方程為x=1；當y₁≠-2時，求出直線AP的方程，然后求出Q的坐標，求出B點的坐標，解出直線AB的斜率，推出AB的方程，判斷直線AB恒過定點推出結果．

解答 解：（Ⅰ）設點P的坐標為（x₀，y₀），則$y_0^2=4{x_0}$，
所以，點P到直線l的距離$d=\frac{{|{{x_0}-{y_0}+2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{\frac{y_0^2}{4}-{y_0}+2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{{{（{{y_0}-2}）}^2}+4}|}}{{4\sqrt{2}}}≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
當且僅當y₀=2時等號成立，此時P點坐標為（1，2）．…（4分）
（Ⅱ）設點A的坐標為$（{\frac{y_1^2}{4}，{y_1}}）$，顯然y₁≠2．
當y₁=-2時，A點坐標為（1，-2），直線AP的方程為x=1；可得B（$\frac{9}{4}$，3），直線AB：y=4x-6；
當y₁≠-2時，直線AP的方程為$y-2=\frac{{{y_1}-2}}{{\frac{y_1^2}{4}-1}}（{x-1}）$，
化簡得4x-（y₁+2）y+2y₁=0；
綜上，直線AP的方程為4x-（y₁+2）y+2y₁=0．
與直線l的方程y=x+2聯立，可得點Q的縱坐標為${y_Q}=\frac{{2{y_1}-8}}{{{y_1}-2}}$．
因為，BQ∥x軸，所以B點的縱坐標為${y_B}=\frac{{2{y_1}-8}}{{{y_1}-2}}$．
因此，B點的坐標為$（{\frac{{{{（{{y_1}-4}）}^2}}}{{{{（{{y_1}-2}）}^2}}}，\frac{{2{y_1}-8}}{{{y_1}-2}}}）$．
當$\frac{{2{y_1}-8}}{{{y_1}-2}}≠-{y_1}$，即$y_1^2≠8$時，直線AB的斜率$k=\frac{{{y_1}-\frac{{2{y_1}-8}}{{{y_1}-2}}}}{{\frac{y_1^2}{4}-\frac{{{{（{{y_1}-4}）}^2}}}{{{{（{{y_1}-2}）}^2}}}}}=\frac{{4{y_1}-8}}{y_1^2-8}$．
所以直線AB的方程為$y-{y_1}=\frac{{4{y_1}-8}}{y_1^2-8}（{x-\frac{y_1^2}{4}}）$，
整理得$（{y-2}）y_1^2-4（{x-2}）{y_1}+8（{x-y}）=0$．
當x=2，y=2時，上式對任意y₁恒成立，
此時，直線AB恒過定點（2，2），也在y=4x-6上，
當$y_1^2=8$時，直線AB的方程為x=2，仍過定點（2，2），
故符合題意的直線AB恒過定點（2，2）．…（13分）

點評 本題主要考查拋物線的標準方程與幾何性質、直線方程、直線與拋物線的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合、化歸與轉化、特殊與一般，分類與整合等數學思想．