Question

10．已知函數f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x的圖象與函數y=g（x）的圖象關于直線y=x對稱，令h（x）=g（1-x²），則關于函數y=h（x）的下列4個結論：
①函數y=h（x）的圖象關于原點對稱；
②函數y=h（x）為偶函數；
③函數y=h（x）的最小值為0；         
④函數y=h（x）在（0，1）上為增函數
其中，正確結論的序號為②③④．（將你認為正確結論的序號都填上）

Answer 1

分析 由已知求出h（x）=${log}_{\frac{1}{2}}（1-{x}^{2}）$，分析函數的奇偶性，單調性，最值，可得答案．

解答 解：∵函數f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x的圖象與函數y=g（x）的圖象關于直線y=x對稱，
∴g（x）=${log}_{\frac{1}{2}}x$，
∴h（x）=g（1-x²）=${log}_{\frac{1}{2}}（1-{x}^{2}）$，
故h（-x）=h（x），
即函數為偶函數，函數圖象關于y軸對稱，
故①錯誤；②正確；
當x=0時，函數取最小值0，故③正確；
當x∈（0，1）時，內外函數均為減函數，故函數y=h（x）在（0，1）上為增函數，故④正確；
故答案為：②③④

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數的奇偶性，單調性，最值，難度中檔．