Question

12．在平面直角坐標系xOy中，曲線y=x²-6x+5與坐標軸的交點都在圓C上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C與直線x-y+a=0交于A，B兩點，且CA⊥CB求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線y=x²-6x+5與坐標軸的交點為A（0，5），B（1，0），C（5，0），設圓C的方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入構造方程組，解得圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C與直線x-y+a=0交于A，B兩點，且CA⊥CB，則d=$\frac{\left|a\right|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{13}$，解得a值．

解答 （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）曲線y=x²-6x+5與坐標軸的交點為A（0，5），B（1，0），C（5，0），
設圓C的方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則$\left\{\begin{array}{l}25+5E+F=0\\ 1+D+F=0\\ 25+5D+F=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}D=-6\\ E=-6\\ F=5\end{array}\right.$，
故圓C的方程為：x²+y²-6x-6y+5=0，即（x-3）²+（y-3=13 …（8分）
（Ⅱ）由CA⊥CB得△ABC為等腰直角三角形，|AB|=$\sqrt{2}$r
d=$\frac{\left|a\right|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{13}$，
解得：a=±$\sqrt{13}$…（12分）

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，直線與圓的位置關系，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．