Question

3．已知函數f（x）=lnx+$\frac{ax}{x-1}$
（1）若函數有兩個極值點，求實數a的取值范圍；
（2）討論f（x）的零點個數．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的方程，求出函數的單調區間，根據函數的極值的個數從而求出a的范圍；
（2）通過討論a的范圍，判斷函數的零點個數．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{（x+1）}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+（a+2）x+1}{{x（x+1）}^{2}}$，
（1）△＞0，-$\frac{a+2}{a}$＞0，即a＜-4時，
f′（x）有2個不同正根$\frac{-（a+2）±\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，
則f（x）在（0，$\frac{-（a+2）-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$），（$\frac{-（a+2）+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，+∞）遞增，
在（$\frac{-（a+2）-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，$\frac{-（a+2）+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$）遞減，
此時函數有2個極值點，
當a≥-4時，（x+1）²+ax≥（x+1）²-4x≥0，f′（x）≥0，
此時不成立，故a＜-4；
（2）x→0，f（x）→-∞，x→+∞，f（x）→+∞，
由（1）a≥-4時，f′（x）≥0，此時恰有1個零點，
a＜-4時，f（x）在x₀=$\frac{-（a+2）-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$取極大值，
此時f（x₀）=lnx₀-$\frac{{{（x}_{0}+1）}^{2}}{{x}_{0}+1}$=lnx₀-（x₀+1），
設g（x）=lnx-（x+1），
g′（x）=$\frac{1}{x}$-1，則g（x）在x=1處取極大值-2，
即g（x）恒小于0．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．