Question

15．設x＞0，y＞0，A、B、P三點共線且向量$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，則$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$的最小值（　　）

• A． 4
• B． 2
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 利用三點共線，可得x+y=1，再利用“1”的代換，結合基本不等式，即可得出結論．

解答 解：∵A、B、P三點共線且向量$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
∴x+y=1，
∵x＞0，y＞0，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）（x+y）=5+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$≥5+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$=9，
當且僅當$\frac{y}{x}$=$\frac{4x}{y}$，即y=2x時，取等號，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$的最小值為9．
故選C．

點評 本題考查三點共線，考查基本不等式的運用，考查學生的計算能力，確定x+y=1是關鍵．