Question

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，直線PC⊥平面ABC，E，F分別是PA，PC的中點．

（1）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關系，并加以證明；
（2）設（1）中的直線l與圓O的另一個交點為D，且點Q滿足 ．記直線PQ與平面ABC所成的角為θ，異面直線PQ與EF所成的角為α，二面角E﹣l﹣C的大小為β．求證：sinθ=sinαsinβ．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線l∥平面PAC，證明如下：

連接EF，因為E，F分別是PA，PC的中點，所以EF∥AC，

又EF平面ABC，且AC平面ABC，所以EF∥平面ABC．

而EF平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l．

因為l平面PAC，EF平面PAC，所以直線l∥平面PAC．

（2）解：（綜合法）如圖1，連接BD，由（1）可知交線l即為直線BD，且l∥AC．

因為AB是⊙O的直徑，所以AC⊥BC，于是l⊥BC．

已知PC⊥平面ABC，而l平面ABC，所以PC⊥l．

而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC．

連接BE，BF，因為BF平面PBC，所以l⊥BF．

故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．

由 ，作DQ∥CP，且 ．

連接PQ，DF，因為F是CP的中點，CP=2PF，所以DQ=PF，

從而四邊形DQPF是平行四邊形，PQ∥FD．

連接CD，因為PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC內的射影，

故∠CDF就是直線PQ與平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．

又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，

于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分別可得 ，

從而 ．

（向量法）如圖2，由 ，作DQ∥CP，且 ．

連接PQ，EF，BE，BF，BD，由（Ⅰ）可知交線l即為直線BD．

以點C為原點，向量 所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設CA=a，CB=b，CP=2c，則有 ．

于是 ，

∴ = ，從而 ，

又取平面ABC的一個法向量為 ，可得 ，

設平面BEF的一個法向量為 ，

所以由 可得 取 =（0，c，b），

于是 ，從而 ．

故 ，即sinθ=sinαsinβ．

【解析】（1）直線l∥平面PAC．連接EF，利用三角形的中位線定理可得，EF∥AC；利用線面平行的判定定理即可得到EF∥平面ABC．由線面平行的性質定理可得EF∥l．再利用線面平行的判定定理即可證明直線l∥平面PAC．（2）綜合法：利用線面垂直的判定定理可證明l⊥平面PBC．連接BE，BF，因為BF平面PBC，所以l⊥BC．故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．已知PC⊥平面ABC，可知CD是FD在平面ABC內的射影，故∠CDF就是直線PQ與平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．由BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，分別利用三個直角三角形的邊角關系即可證明結論；
向量法：以點C為原點，向量 所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與平面之間的位置關系的相關知識，掌握直線在平面內—有無數個公共點；直線與平面相交—有且只有一個公共點；直線在平面平行—沒有公共點，以及對直線與平面平行的判定的理解，了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．