Question

【題目】已知函數f（x）=|x+a|+|x﹣2|
（1）當a=﹣3時，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=﹣3時，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即① ，或② ，

或③ ．

解①可得x≤1，解②可得x∈，解③可得x≥4．

把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集為{x|x≤1或x≥4}

（2）解：原命題即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等價于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，

等價于|x+a|≤2，等價于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．

故當 1≤x≤2時，﹣2﹣x的最大值為﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值為0，

故a的取值范圍為[﹣3，0]

【解析】（1）不等式等價于 ，或 ，或 ，求出每個不等式組的解集，再取并集即得所求．（2）原命題等價于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范圍．