Question

10．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與兩個(gè)頂點(diǎn)M（1，0），N（4，0）的距離的比為$\frac{1}{2}$．
（I）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（II）若點(diǎn)A（-2，-2），B（-2，6），C（-4，2），是否存在點(diǎn)P，使得|PA|²+|PB|²+|PC|²=36．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）利用直接法，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（II）由|PA|²+|PB|²+|PC|²=36，可得3x²+3y²+16x-12y+32=0，得出公共弦的方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：（I）設(shè)P（x，y），則
∵動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)頂點(diǎn)M（1，0），N（4，0）的距離的比為$\frac{1}{2}$，
∴2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$，
∴x²+y²=4，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是x²+y²=4；
（II）由|PA|²+|PB|²+|PC|²=36，可得（x+2）²+（y+2）²+（x+2）²+（y-6）²+（x+4）²+（y-2）²=36，
∴3x²+3y²+16x-12y+32=0，
∵x²+y²=4，
∴4x-3y+11=0，
圓心到直線4x-3y+11=0的距離d=$\frac{11}{5}$＞2，
∴直線與圓相離，
∴不存在點(diǎn)P，使得|PA|²+|PB|²+|PC|²=36．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題．