Question

1．設函數f（x）=x²-ax+1，x∈[-1，2]．
（1）若函數f（x）為單調函數，求a的取值范圍；
（2）求函數f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出二次函數的對稱軸，判斷對稱軸與區間的關系，求出a的取值范圍．
（2）討論a的取值，判斷f（x）在x∈[0，3]的單調性，求出f（x）的最小值即可．

解答 解：（1）函數f（x）=x²-ax+1，的對稱軸為：x=$\frac{a}{2}$，函數f（x）為單調函數，
可得$\frac{a}{2}≤1$或$\frac{a}{2}≥2$，解得a∈（-∞，2]∪[4，+∞）．
（2）∵二次函數f（x）=x²-ax+1=（x-$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{1}{4}$a²，
且x∈[-1，2]，
∴當$\frac{a}{2}$∈[-1，2]時，即：a∈[-2，4]時，f（x）在x∈[-1，2]上先減后增，
f（x）的最小值是f（$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{1}{4}$a²；
當$\frac{a}{2}$∈（-∞，-1）即：a∈（-∞，-2）時，f（x）在[-1，2]上是增函數，
f（x）的最小值是f（-1）=2+a；
當$\frac{a}{2}$∈（2，+∞）即a∈（4，+∞）時，f（x）在[-1，2]上是減函數，
f（x）的最小值是f（2）=5-2a；
綜上，a∈[-2，4]時，f（x）的最小值是1-$\frac{1}{4}$a²；
a∈（-∞，-2）時，f（x）的最小值是2+a；
a∈（4，+∞）時，f（x）的最小值是5-2a．

點評 本題考查了分類討論思想的應用問題，也考查了二次函數的圖象與性質的應用問題，是中檔題．