Question

【題目】已知函數.

（1）當時，討論函數的單調區間；

（2）設，證明：當時，函數沒有極值點.

Answer 1

【答案】（1）當時，在單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，其中=；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求函數求導，對參數進行分類討論，根據導數的正負，即可容易判斷函數的單調性，從而求得單調區間；

（2）要證沒有極值點，將問題轉化為求證在恒成立；結合（1）中所求可知當時，；構造函數，利用導數根據函數單調性，求得在時恒成立，則問題得解.

（1），，

當時，，

∴當時，，∴在單調遞增，

當時，令，解得，，

顯然，，

∴當時，，函數單調遞減，

當時，，函數單調遞增，

綜上所述，當時，在單調遞增，

當時，在上單調遞減，在上單調遞增；

（2），

由（1）可知時，在是增函數，

∴，

∴當時，，

下面證明：當時，，

設，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴在上為增函數，

∴，

∴存在使得，即，

并且當時，，時，，

∴在上為減函數，在上為增函數，

∴當時，有最小值，

∵，

∴，

∴，即，

∵，

∴當時，函數為增函數，

∴在區間上沒有極值點.