Question

【題目】如圖，過拋物線y2＝2px（p＞0）上一點P（1，2），作兩條直線分別交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2），當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時：

（1）求y1+y2的值；

（2）若直線AB在y軸上的截距b∈[﹣1，3]時，求△ABP面積S△ABP的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由P在拋物線上，將P的坐標代入拋物線方程可得p，進而點到拋物線方程，再由A，B的坐標滿足拋物線方程，結合兩直線的傾斜角互補，可得它們的斜率之和為0，化簡計算可得所求值；
（2）由點差法結合直線的斜率公式可得直線AB的斜率，設直線AB的方程為y＝﹣x+b（b∈[﹣1，3]），聯立拋物線方程，消去y，可得x的二次方程，運用韋達定理和弦長公式、點到直線的距離公式，以及三角形的面積公式，結合三元均值不等式，計算可得所求最大值.

解：（1）點P（1，2）為拋物線y2＝2px（p＞0）上一點，可得2p＝4，即p＝2，可得拋物線的方程為y2＝4x，

由題意可得y12＝4x1，y22＝4x2，

kPA+kPB0，

則y1+y2＝﹣4；

（2）由題意可得y12＝4x1，y22＝4x2，相減可得（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2），

則kAB1，

可設直線AB的方程為y＝﹣x+b（b∈[﹣1，3]），聯立拋物線方程y2＝4x，可得x2﹣（2b+4）x+b2＝0，

△＝（2b+4）2﹣4b2＝16（1+b）＞0，且x1+x2＝2b+4，x1x2＝b2，

則|AB||x1﹣x2|4，

P（1，2）到直線AB的距離為d，

可得S△ABP|AB|d＝2（3﹣b），

設，則

當時，，函數單調遞增，當時，函數的單調遞減.

即時，有最大值

即

所以S△ABP，則S△ABP的最大值為.