【題目】已知橢圓E：
（
）的離心率為
，F是E的右焦點，過點F的直線交E于點
和點
（
）.當直線
與x軸垂直時，
.
（1）求橢圓E的方程；
（2）設直線l：
交x軸于點G，過點B作x軸的平行線交直線l于點C.求證：直線
過線段
的中點.
【答案】（1）
；（2）證明見解析.
【解析】
（1）通過離心率推出
，結合
．轉化求解
，
，求解橢圓
的方程．
（2）求出
，
，得到線段
的中點為
．①當直線
與
軸垂直時，說明直線
過線段的中點．②當直線不與軸垂直時，可設其方程為
，代入，利用韋達定理設
，
，
，
，
，求出的方程為
．推出直線系方程，說明直線過線段的中點．
（1）由
，得，所以，
因為直線經過點F，且
，所以根據對稱性，不妨設
.
當直線與x軸垂直時，
，
，所以
.
由
，得
，所以
，
.
所以橢圓E的方程為.
（2）當直線與x軸垂直時，
，
，
，
這時直線的方程為
，即
.
令
，得
，點
恰為線段的中點.
因為
，當直線不與x軸垂直時，可設其方程為
，
代入，
整理得
.
所以
，
.
因為
，
，
，
所以直線的方程為
.
因為
，
，
所以
，
這說明直線過點.
綜上可知直線過線段的中點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設數列
對任意
都有
（其中
、
、
是常數） .
（Ⅰ）當
，
，
時，求
；
（Ⅱ）當
，
，
時，若
，
，求數列的通項公式；
（Ⅲ）若數列中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“封閉數列”.當，，時，設
是數列的前
項和，
，試問：是否存在這樣的“封閉數列”，使得對任意，都有
，且
.若存在，求數列的首項
的所有取值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題正確的個數為（ ）
①“
都有
”的否定是“
使得
”；
②“
”是“
”成立的充分條件；
③命題“若
，則方程
有實數根”的否命題；
④冪函數的圖像可以出現在第四象限.
A.0B.1C.2D.3
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
，
是
的導函數.
（1）若
，求
的值；
（2）設
.①若函數
在定義域上單調遞增，求的取值范圍；②若函數在定義域上不單調，試判定的零點個數，并給出證明過程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】千百年來，我國勞動人民在生產實踐中根據云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結了豐富的“看云識天氣”的經驗，并將這些經驗編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學為了驗證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了所在地區A的100天日落和夜晚天氣，得到如下
列聯表：
夜晚天氣 日落云里走 | 下雨 | 未下雨 |
出現 | 25 | 5 |
未出現 | 25 | 45 |
臨界值表 | ||||
P（ | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
并計算得到
，下列小波對地區A天氣判斷不正確的是（ ）
A.夜晚下雨的概率約為
B.未出現“日落云里走”夜晚下雨的概率約為
C.有
的把握認為“‘日落云里走’是否出現”與“當晚是否下雨”有關
D.出現“日落云里走”，有的把握認為夜晚會下雨
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