Question

【題目】已知函數f（x）=|x-m|-|2x+2m|（m＞0）．

（Ⅰ）當m=1時，求不等式f（x）≥1的解集；

（Ⅱ）若x∈R，t∈R，使得f（x）+|t-1|＜|t+1|，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）[-2，-]；（Ⅱ）0＜m＜1

【解析】

（Ⅰ）分段去絕對值解不等數組后在相并可得；

（Ⅱ）f（x）+|t-1|＜|t+1|f（x）＜|t+1|-|t-1|對任意x∈R恒成立，對實數t有解．

再利用分段函數的單調性求得f（x）的最大值，根據絕對值不等式的性質可得|t+1|-|t-1|的最大值，然后將問題轉化為f（x）的最大值＜（|t+1|-|t-1|）的最大值可得．

（Ⅰ）當m=1時，|x-1|-|2x+2|≥1或或，

解得-2≤x≤-，所以原不等式的解集為[-2，-]．

（Ⅱ）f（x）+|t-1|＜|t+1|f（x）＜|t+1|-|t-1|對任意x∈R恒成立，對實數t有解．

∵f（x）=，

根據分段函數的單調性可知：x=-m時，f（x）取得最大值f（-m）=2m，

∵||t+1|-|t-1||≤|（t+1）-（t-1）|=2，

∴-2≤|t+1|-|t-1|≤2，即|t+1|-|t-1|的最大值為2．

所以問題轉化為2m＜2，解得0＜m＜1．