Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），曲線的參數方程為（為參數），曲線與軸交于兩點.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求直線的普通方程及曲線的極坐標方程；

（2）若直線與曲線在第一象限交于點，且線段的中點為，點在曲線上，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）

【解析】

（1）利用參數方程和極坐標方程與直角坐標方程的互化公式求解即可；

（2）聯立直線方程和曲線的方程求出點坐標，利用中點坐標表示可得點，結合（1）知，判斷點與圓的位置關系求出的最小值即可.

（1）由可得，即，

所以直線的普通方程為.

由可得，即，

將，代入上式，可得，即，

所以曲線的極坐標方程為.

（2）由，可得或，

因為點位于第一象限，所以，

由（1）可得，因為線段的中點為，所以，

由（1）可知曲線表示圓，其圓心為，半徑，

所以，

因為點在曲線上，所以.