Question

【題目】已知函數，.

（1）討論函數在上的單調性；

（2）設，當時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）先求導函數，求出f'（x）＝0的根，然后比較根與區間的關系，確定a的范圍，根據f'（x）＞0的解集為增區間，f'（x）＜0的解集為減區間求解即可；

（2）先證得恒成立，再將h(x)通過進行放縮，得到，構造函數L(x)，求導分析單調性、極值，從而求得最小值，可證得結論.

（1） ， ，

令，得.

當時，，當時，恒成立，

在上的單調遞增；

∴當時，，

∴當時，， 在上單調遞減；

∴當時，， 在上單調遞增.

綜上，當時， 在上的單調遞增；

當時， 在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）令，得， ，令，得.

當時，， 在上單調遞減，

當時，， 在上單調遞增；

，即.

當時，

，

當且僅當時取等號，

令，則.

由得，由得，

， ，

易知此不等式中兩等號成立的條件不同，